怎么给孩子数学启蒙?

在前几天的牛年春晚上,相声《如此家长》让我很有共鸣:两位相声演员利用夸张的表演形式,将当下在各个辅导班之间辗转的家长和孩子演绎得淋漓尽致。里面有句台词给我很深的印象——“现在的孩子小时候不受罪,长大了怎么能成才呢?”


春晚相声——《如此家长》

其实这事儿挺矛盾的:一方面,爱玩是孩子的天性,家长也希望孩子都能快乐地成长;但另一方面,做家长的也势必比孩子看得长远些,希望孩子能从千军万马中杀出重围,以后能有好的工作,过上比他们更好的生活。两方面对比,大部分家长想到孩子终究要离开父母的羽翼,从长远考虑怎能眼下让孩子太过安逸?于是家家户户还是选择展开了“军备竞赛”,启蒙、早教、辅导纷纷上马,争取让孩子不输在起跑线上。

其实,关于早教课外辅导之类的加餐是大势所趋,现在选择也很多样化。正因为如此,我们家长更需要谨慎思考做出选择,不要人云亦云。因为每一个小朋友都是世界上独一无二的个体,选择适合自家娃年龄个性的学习内容和教学方式,这样学习就能更有效率、更有效果,家长和孩子也不会太累。

一、什么时候要开始数学启蒙?

我从教近十年,据我所见所闻,数学是让多数学生最头痛却又绕不过去的重要学科,很多同学都感慨:“数学虐我千百遍,我待数学如初恋。“

之前看过心理学家史蒂芬·平克的书,他写道:经过人类数十万年的进化,有些能力如语言、运动等已经成为了先天本能,但文字阅读和数学运算等能力出现时间晚,还没成为人类的本能。

我们必须接受这一事实:数学思维难以天然习得,需要后天不断思考+练习,而且孩子一旦落后,确实难以“逆袭”。而现在大部分公立幼儿园倡导快乐教育,几乎没有数学方面的启蒙,因此,在孩子上学前进行一下数学启蒙还是非常有必要的。

那什么时候开始给孩子数学启蒙比较合适呢?

这个问题我曾经问过我的数学老师同事,他认为每个孩子进入数学敏感期的时间不太一样,应该在孩子有计数的认知需求的时候开始最好,孩子可能一两岁就会数数,但一开始只是记住了数的语音,当他们知道数的真正含义,即数是独立于物体但又可描述物体的抽象概念的时候,应该是开始数学启蒙的黄金时期。

这方面我有个人体会,我家老大在三岁的时候,有一次在外婆家翻出来一包包纸巾,摆在地上整整齐齐,小手比比划划,口中念念有词,原来他在数纸巾的数量,数了几大包还没完,还要一一去数每大包里面一共有多少小包,数好了还问我数得对不对。这可是他以前不会主动去做的事情,我认为他是时候要开始数学启蒙了。


二、选择线下课还是线上课?

关于到底是去报线下辅导班还是线上课,我和宝妈还认真讨论了一番。最终决定还是给娃报了线上课,理由有四:

线下课更适合大一点的孩子,对于我们家这种学龄前又有点偏内向的娃,在家里上网课,置身于熟悉温暖的环境会更有安全感,学起来更加自然和放松,学习过程中就能把注意力放在内容上;父母在身边可以及时给予相应指导,每节课都知道孩子学了哪些东西,也能引导孩子完成作业或复习;不用将时间和精力消耗在路上;疫情期间,更要减少集聚,而且哪怕不考虑新冠,线下课也有流感等传染病的风险,孩子万一得病也是真够大人小孩折腾的。

但是线上课也有弊端,比如对着电脑屏幕看,对孩子视力会有一点影响,所以线上课的时长一般都不会太久;线上因为与老师还是有点距离的,小朋友的注意力容易分散,但如果家长在身边会好很多。

三、火花思维、斑马AI、豌豆思维……哪家才是最优选?

1.斑马VS豌豆/火花:小班直播学习效果更好现在比较靠谱的几家数学思维课,有名的我知道有斑马、火花、豌豆等。但是我在给孩子选课的时候,先把斑马思维及类似的AI课pass掉了。

主要还是出于对孩子年龄和认知情况的考虑,斑马思维是AI课,虽然斑马也有真人出镜,但都是事先录好的,按照一般的套路来,即使孩子答得不对,也会继续按照进度进行,不能实现真正意义上的师生对话交流。而我们家孩子年龄小,哪里遇到问题卡壳了,哪里需要老师讲慢一点,哪里不明白想要提问,这些教学互动环节还是不能省略的。

虽然AI课相对于豌豆思维和火花思维,在价格上更加经济划算,但缺点也很明显,课程缺乏互动和因材施教,对年幼的孩子来说并不是太合适。所以下面我将火花思维、豌豆思维做横向比较,供家长参考。

2.师资力量:豌豆思维对师资筛选更加严格

火花思维和豌豆思维我们家娃儿都上过,我觉得就我的经验来看,两家给我们授课的老师都还不错,都是年轻的有亲和力又元气满满的女老师,我们家小朋友都挺喜欢的。

我以前没想到的是,现在的在线辅导的成熟度真的很高,不仅仅有授课老师,两家都是由辅导团队配合进行服务的。豌豆思维首创“三师全程服务”专业辅导团队先河。每个孩子都有服务群,群内有授课老师、班主任、课程顾问,几乎全天候为孩子的学习保驾护航。火花思维则通过app可以和主讲老师和辅导老师联系,通过微信可以和课程顾问联系。不过对比下来,当我们有[1] [2] 疑问时,豌豆思维的老师回应速度会更快一些。

关于师资方面,我从招聘要求和流程上进行了对比和研究。在招聘要求上区别不大,都要求本科学历以上,普通话标准,有从教经验者优先。

但两者的招聘流程还是有挺大的差别。火花思维招聘环节:笔试——发3分钟的视频(自我介绍及教学片段)——邮件回复一道开放性的思辨题目——面试;豌豆思维招聘环节:笔试——读文章——情景演绎——写课件——试讲。

给我的感觉是:火花思维面试更多的是通过邮件进行,只有最后面试环节是真人临场发挥,准备的空间更大;而豌豆思维则更像是编制教师的招聘的流程,有备课和试讲的环节,每位老师都需要经过3轮面试+5轮试讲筛选,更加考验应聘者的临场发挥能力。综合比较下来,豌豆思维对师资团队的筛选和培训,更加严格且专业。

3.课件动画:课件融入动画IP让孩子爱上学习

火花思维设置了圆圆鼠、三角兔、方块猴三个虚拟形象,形象可爱性格迥异,通过这三个小动物带着孩子看动画,学歌曲,做游戏,解问题。我们家最喜欢的是方块猴,原创虚拟形象需要一定的熟悉过程,孩子需要时间慢慢适应课程。


豌豆思维则与奥飞娱乐展开战略合作,启用明星IP——超级飞侠,你不能低估小家伙们对超级飞侠的喜爱程度,大概就像我们小时候喜欢圣斗士、变形金刚、奥特曼差不多,我们家几乎是嗷嗷叫着要上课,能和超级飞侠一起互动,对孩子来说那就是四个字:激动人心。


我们家老二骑的扭扭车就是超级飞侠的,看到哥哥在上超级飞侠的课,也被吸引过来

4.教学内容:火花注重空间;豌豆注重数与计算

火花思维L2课程:


豌豆思维L2课程:


只是这样看,可能有点复杂,但在课时安排上,火花思维几何空间的课时量稍微多一些,豌豆思维则在数和计算方面安排了更多的课时。

5.课程特点:火花偏游戏化教学,豌豆课程实用性更强

火花思维内容更加多样,比如每节课都会安排动画片段、歌舞、分享玩具,有时还会有三观及习惯之类的教育,如果是四岁以前的孩子,可能在学习火花思维的过程中更开心。

但形式多样的同时,“花样“势必挤占了“正课”的内容。我们在上火花思维的时候,课上时间有限,有些地方孩子听不懂,但老师也没办法展开详解,只能靠家长课下单独再教孩子。

豌豆思维则会把更多的时间花在数学内容上,更加适合学习数学目标明确的家长及孩子,学习的内容更深入,学习的时间更长,也能给孩子充分的思考时间。

视频简介:这节课孩子学习了分类和综合的内容,通过老师的讲解,先认识了以前不认识的图形,然后又通过“小队长“的比喻,来让孩子能横排和数列综合分析,选出组合出来的合适的图形填入九宫格,做好之后老师还让孩子梳理解答思路,表达是如何做出来

6.豌豆VS火花:学具

火花思维学具多样,质量很好,京东邮寄很快到位,学的时候孩子容易分散注意力,还好老师会及时说:“小手空空,由家人保管学具”。

豌豆思维也有配套学具,更朴实无华,好在实在,最喜欢看孩子摆弄学具认真操作的样子。


7.学习效果:火花适合初期启蒙,豌豆适合进阶学习。我们家一开始学的是火花思维,因为当时觉得孩子年龄小,内容丰富多样可能更有吸引力,确实,孩子每节课都乐意去上,虽然有部分内容需要我下课再单独教一教,但绝大部分都听懂并顺利完成作业和测验。后来,孩子不懂的地方越来越少,反而有点“吃不饱“。我心里又犯嘀咕了:学习,其实是不能呆在舒适区的,应该学的是”跳一跳能够到“的部分。于是我想给他再换一个试试。

咨询了一位家有小学霸的同事,他向我推荐了豌豆思维,理由是豌豆的课程与公立学校小学阶段的课程匹配度更高,对幼升小也有实质性的帮助。


毕竟人家是过来人,我查了相关的资料,觉得确实不错,于是又给孩子报了豌豆思维的课。有了火花的学习经验,上手豌豆也非常快,如果说上火花课是乐意,上豌豆课那叫一个开心。孩子通过一定时间线上课的学习,确实有很多的成长,如对时间的掌握,对图形和数的认识,并且在平时也时不时喜欢对事物进行比较,还喜欢给弟弟当老师,教弟弟数数比较多少。但这种成长也不仅仅是因为上了思维课,思维课起到作用的同时,孩子也在一次次的思考中,在和小朋友的互动中,在和家人的交流中,得到成长和进步。小朋友们都很了不起,他们无时无刻不在学习!

我认为,孩子能通过学前班的线上课,对数学始终保持兴趣,能在生活中对数形敏感,加上体验预习、上课、作业、复习、测试一整套的学习流程,孩子产生学习疑问,授课老师也可以直接进行课后辅导,让孩子的学习疑问不过夜。这种求知解疑的过程,就是养成良好的学习习惯的过程,都在给未来的学校学习夯实基础。以我的经验来看,大体上火花适合初期启蒙,豌豆更适合进阶学习。

四、关于数学启蒙我们还要注意什么?

1.注意培养习惯和注意力。其实,随着孩子年龄的增长和学业的升级,学习好的学生往往是胜在学习习惯和专注度上。学习习惯不仅仅在于对学习总体态度,以及每一次学习闭环的完成情况,我认为有没有提问的意识,有没有好奇心,有没有克服困难解决问题的恒心,都属于广义的学习习惯。当今社会,专注力是稀缺资源,作为家长,要记住孩子每一次专注的样子,当他集中注意力的时候,无论是专注于游戏还是绘本,无论是在说话还是在发呆,都不要打断他,专注度是深度思考数学问题的前提。

2.要把数学启蒙和实物、游戏结合起来,帮助孩子由具象到抽象。除了思维课给我们配发的学具,其实我们生活中处处有学具,扑克牌、糖果、体重计、积木、皮尺、书籍、钟表、日历……只要你想得到,都可以和数学进行结合与孩子互动交流。

3.侧重举一反三,不要让孩子去猜或者总是调用记忆,要引导孩子真正理解。当孩子做题的时候,有时候他的心不在题目上,而在家长的身上。就是说,他没有经过认真的思考,先“猜“一个答案,然后再察言观色,通过观察家长的脸色和言语,判断自己的回答是否准确,如果感到不对劲,再去“蒙“另一个答案。这种时候,我们家长可千万别因为孩子第二次”蒙“对了,就过了。其实认真弄懂一个问题,要比敷衍着做十个题有用的多。

4.最重要的一点,珍视孩子对数学的好奇心和进取心,要循序渐进。 “这个这么简单,你怎么就不会“,当你冒出这样的想法的时候,你需要和孩子在物理上隔离一下,平复一下心情,排除掉孩子故意捣乱或者态度极不认真,其实问题很大可能性在你自己身上。记住,我们可以批评孩子学习的态度,但永远不要批评孩子学习的能力,这还不都是自己和队友遗传的,说熊孩子的同时,也默认了自己熊。不要急躁,如果孩子总理解不了一些问题,何不再放一放,静待花开。


孩子的认知和视角和父母完全不同,我们一定要换位思考

五、写在最后

建议各位宝爸宝妈,在选择思维课的时候,可以先选择购买三个月或者半年的,觉得孩子喜欢上,有效,那就继续学,如果不合适,还可以及时调整,思维课上到什么时候,视孩子情况而定,一般来说,上到三四年级都可以。

数学启蒙是一门学问,需要家长上心、细心、耐心,既要选择适合自己孩子年龄/兴趣/性格/知识结构的课,又要在日常生活中有意识的进行渗透,这样才能呵护孩子对数学的兴趣,才能让孩子在后面的学习中保持自信心和良好的学习习惯。

已更新内容:

No.1 关于数学启蒙的思考:是什么,为什么,怎么做

No.2 数学启蒙第一步:建立数感

No.3 数学启蒙第二步:构建空间感

前面更新了两篇回答。第一篇是从宏观角度思考数学启蒙,讨论是什么,为什么和怎么做的宏观问题。第二篇深度讨论了如何帮助孩子建立数感的问题(2020年6月11日更新)。

今天(2021年1月21日)更新第三篇,讨论数学启蒙的另一个重要话题,空间感。

为了便于系统性阅读,我把更新的内容放到文末,请老朋友拉到文末寻找分割线!

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No.1 关于数学启蒙的思考:是什么,为什么,怎么做

现在的孩子,他们的时代是在20年后的未来。到那时,人工智能可能早已像现在的互联网一样普及,大数据、区块链、机器人也可能都早已融入到了他们生活中的每一个角落。在这些影响着未来社会发展的高科技背后,最重要的一门学科就是数学。

可以毫不夸张地说,数学能力在很大程度上将决定着孩子将来的职业能力,甚至是人生事业的高度。所以,数学对于现在孩子成长的重要性,我觉得再怎么形容都不为过。

但是,熟悉数学并不等于会教数学,会教数学也不等于会教小小孩的数学。于是,数学启蒙到底需要如何开展,被我列入“父母自我成长计划”中最重要的主题之一。

围绕“数学启蒙”,我断断续续摸索了近一年的时间。在这一年里,我通过各种网络途径(知乎、维基百科、微信公众号、今日头条、简书等)查阅了大量文章,也购买了国内外各式各样的数学启蒙读物,还专门和Shen所在幼儿园的园长和班主任老师做了一些探讨。现在,我算是有了一点学习心得,在此记录下来和大家一起分享。

01 数学启蒙是什么?

谈到数学启蒙,很多家长的第一反应是:“先教1,2,3,4……,再教1+1,2+2,3+3……,最后背一背乘法口诀表,就已经很厉害了。”

这种反应其实隐含了一个巨大的误区,那就是把“计算”等同于“数学”。

“计算”当然是“数学”,但远远不能等同于“数学”。数学是一个庞大的知识体系,它包括了代数、几何、概率、集合、拓扑以及逻辑推理(数学思维类)等诸多分支,而“计算”仅仅是代数分支中一个非常微小的知识点而已。从启蒙角度来讲,我们需要呈现给孩子的是一个“更为全面、更为本质”的数学,而不能用简单的数数和运算来代替数学。

那么,对于学龄前的孩子,什么才是“更为全面、更为本质”的数学呢?关于这个问题,我找到了两个权威文件,一个是代表“国标”的《3-6岁儿童学习与发展指南》(2012年版)另一个是代表“美标”的《高瞻课程(High/Scope)》(1995年版)

我们先来看看“国标”版数学启蒙。《3-6岁儿童学习与发展指南》是国家教育部于2012年发布的幼儿养育指南,分健康、语言、社会、科学、艺术五大领域。其中,数学认知列为科学领域,并给出了三个具体的养育目标:




也就是说,按照国家标准,学龄前的儿童需要学习的数学知识包括:数字、数量、计算、形状(平面几何),空间(立体几何),以及相互之间的关系(比较、分类、归纳、推理、演绎等逻辑关系)。

现在,我们来看看“美标”版的数学启蒙。高瞻课程是美国最受欢迎的学前教育体系之一,在高瞻课程里,数学认知包括四块模块:数概念、排序、分类、空间。


看到这儿你是不是已经开始焦虑起来,幼儿园的数学竟然如此广阔浩瀚!!!我的孩子还在整天玩小汽车,这可怎么办?

其实,大可不必“焦虑”,无论是“国标”还是“美标”,所涉及的数学知识其实都非常有限,无非就是数与计算、形状与空间、逻辑与推理。这些知识,一般的成年人都是熟练掌握的,只不过我们不熟悉这些专业名词而已。(PS:如果你还是觉得焦虑,那就赶紧关注单爱公众号吧,博士爸爸会持续推送数学启蒙的文章,帮你消除焦虑^_^)

通过查阅这些权威文件,我给“数学启蒙”下了一个定义:所谓“数学启蒙”,其核心在于“启蒙”,而不是具体的“数学知识”。

数学启蒙最重要的任务是让孩子对数学有一个好的印象,通过认知、感知数学的有用和有趣,进而喜欢上数学。至于孩子在学龄前能学到多少数学知识,则不必过于关注,能学多少就学多少,顺其自然即可。

学龄前所涉及到的知识都非常简单,随着孩子年龄的增长,他们都是可以轻松学会的,比如从1数到100,从100数到1000,或者简单的加减法,对于3岁的孩子可能有些困难,对于4岁的孩子来说就变得简单很多了。

但是,能否让孩子对数学感兴趣,就不是一件随着年龄增长而能够解决的事情了。为了避免给孩子的数学学习“帮倒忙”,我总结了启蒙时期的“三不原则”:

原则一:不要因为孩子没有学会你所教的数学知识而去批评他或打击他;

原则二:不要把孩子掌握数学知识的多少作为数学启蒙成果的衡量标准;

原则三:不要拿孩子掌握的数学知识多少来与其他孩子进行比较或者炫耀。

上述这些行为都会让孩子对数学产生厌恶的情绪,这不仅不能让孩子对数学有一个好印象,而且还会破坏孩子对数学的兴趣,甚至影响孩子上小学后学习数学的信心。如果是这样,那我们的启蒙行为就是在给孩子“帮倒忙”了。

02 为什么需要数学启蒙?

关于“为什么需要数学启蒙”的问题,我觉得需要分两个方面来讨论,一方面是关于孩子的数学能力,一方面是关于孩子的升学能力。

数学启蒙属于早期教育的范畴,而关于早期教育有没有用,其实是一个争议很大的话题,网上也有很多表达不同观点的文章。在这里,我们先来了解两个最具代表性的科学研究。

第一个科学研究来自于万维钢老师的文章《科学结论:早教对孩子不仅没用,反而有害》。(PS:万老师是我在科普写作方面的偶像,同时也是我中科大物理学院的师兄。)

在万老师的文章中提到,德国政府曾资助过一项研究,研究者选择了50个以早教为特色的幼儿园和50个以玩闹为主的传统幼儿园,对所有这些孩子进行跟踪比较。结果发现,一开始早教幼儿园出来的孩子学习水平确实更高,而且这个优势一直保持到孩子们上小学以后。

但是,随着年龄的增长这个优势逐渐下降,到小学四年级,早教组的孩子不但没有学习优势,而且他们的成绩还显著低于传统幼儿园出来的孩子。所以,万老师的观点是,早教确实能让孩子赢起跑线,但是领先不了多久。

第二个科学研究来自陈鹤琴老先生的代表作之一《儿童心理》。在陈老先生的书中提到,1929年美国心理学家格赛尔(Gesell)的双生子实验。格赛尔选择了一对同卵双胞胎女孩A和B,在她们出生第48周时,格赛尔对女孩A进行了爬楼梯、搭积木、肌肉协调和运用词汇等训练,而对女孩B则不作训练。

在第53周时,格赛尔把女孩A和女孩B放到相同的环境中测试爬梯技能。结果显示,接受训练的女孩T在爬梯这项技能上明显优于女孩B,两个人的爬梯时间分别是17秒和47秒,女孩B比女孩A落后了30秒。之后,格赛尔让女孩B也开始接受相同的训练。

结果显示,只需要少量的训练,女孩B的爬梯技能就赶上了女孩A的技能。到了第55周,两个女孩的爬梯技能已基本看不出差别。

赛尔的实验表明,在身体成熟之前,人为外加的“学习”作用非常小,而在身体成熟之后进行专项训练效果会特别明显。这也是陈鹤琴老先生关于早教的观点。

结合上述两个研究成果,我对于“数学启蒙是否有用”的回答是:

① 在孩子身体发育成熟的时候(主要是指大脑思维的发育程度),给予适当的数学启蒙教育,对孩子的数学能力是有明显提升作用的;

② 想要孩子一直保持住数学能力的优势,启蒙教育的工作不能仅仅停留在幼儿园阶段,而是要贯穿整个小学阶段,一直到孩子掌握了自主学习能力为止。

简单地说,就是:数学启蒙是有用的,但需要结合孩子的成长节奏来开展,而且数学启蒙不能只停留在幼儿园阶段,而是要一直贯穿整个小学阶段。

看完两个烧脑的学术知识,我们来聊一聊不烧脑但很烧心的问题:升学能力。

这是网上流传的两道“幼升小”考试题。虽然无法判断真假,但当下中国孩子的升学问题依然是摆在各个家庭面前的头等大事。

中国的教育制度属于选拔制(也可以称为淘汰制)的教育,想要在这样的教育体制中更好地生存,就必须认真对待每一次淘汰测试,否则吃亏的只能是自己。而数学,则是这些淘汰测试中的重头戏。

带着这样的目的学数学,当然不是一个好的教育导向。但是,不管我们推崇多么先进的教育理念,首先还是需要带领孩子脚踏实地地面对现实。我们需要做的,就是尽量在不破坏孩子天性的前提下,帮助孩子去做好准备迎接每一次的淘汰测试。

所以,从升学的角度讲,数学启蒙本身就是一件需要我们认真去对待的事。

03 数学启蒙怎么做?

好了,终于来到大家最关心的部分,数学启蒙怎么做?

结合前面的理论分析和我自己的实践经验,我总结了一个“三步走“”的数学启蒙方法,在这里和大家分享。

第一步:观察,判断孩子的数学思维处于哪个状态

可能很多人会奇怪,第一步怎么是观察呢?我的依据是格赛尔的双生子实验,也就是要等待身体成熟后再给予适当的训练。

数学启蒙是一项思维活动,只有在孩子的大脑发育到能够接受这类知识的时候,教给他适当的数学知识才是有效的。如果启蒙太早,孩子难以接受,学习效率会比较低下。如果父母比较着急,一定要让孩子提前于大脑发育进行数学训练,当然也可以让孩子提前掌握相关数学知识,但这种做法一般会事倍功半,甚至还会破坏孩子对数学的兴趣,从长远来看是不推荐的。如果启蒙太晚了,错过最佳练习阶段,也就错误了最好的启蒙时间了。

所以,数学启蒙的第一步是要观察孩子数学思维处于哪个状态,从而判断他适合学习哪些数学知识。

以数数为例,Shen从一岁多就可以很完整地从1数到10,但这并不代表他已经掌握了数数的能力。我是通过一些简单的测试来判断的,比如有3个人,他数到3之后还会继续数下去,这就说明他还不明白数数的概念。

按照正常规律,这个时候他的大脑还没发育到能够理解抽象符号的时候,他只不过是凭记忆力在数数而已。这个时期,数数对于他来说,和哼唱一首儿歌并没有什么差别。

到了2岁左右,Shen开始能够理解1,2,3的意义。因为这个时候,我问题他屋里有几个人,他可以很准确地数出是3个人,或4个人,但偶尔还是会数错。这个时候,我认为有必要帮助他开始“数数”的学习了。

到了2岁半,Shen已经可以很准确地从1数到10,我更换不同的物品,比如手指,人,椅子,鞋子,他都可以很准确地输出来。这就说明他头脑里已经具备了简单数数的能力。这个时候,就可以开始进行一下复杂的数数的练习,比如从10数到20,比如从杂乱的积木中数出几个三角形,或者从一堆袜子中数出红色的袜子等等。

先观察,先试探,确认孩子具有学习某一知识点的生理结构(大脑)后再进行引导学习。对于形状和空间,逻辑推理等,也都可以通过同样的方法来判断是否可以进行知识学习。

第二步:重复,在日常生活中不断重复近期学习的知识点

还是以数数为例,在我确认Shen已经具备数数能力之后,我就带他下飞行棋。飞行棋是个非常好的练习数数的场景。刚开始,Shen要对着骰子进行“指数”,慢慢地他开始不需要手指了,而是在心里“默数”。大概到了三岁,他就可以一眼就可以看懂数字了。这个时候,已经说明他很好地理解抽象的符号数字与具体物品的量之间的关系了。

除了飞行棋,还可以通过数玩具车,数积木,数楼梯,数步数等等各式各样的生活和游戏来练习数数。


在Shen具备数数能力之后,我曾尝试拿两个骰子,引导他学习加法。但他没有接受这种玩法,说明他还不具备学习加法的能力。这个时候我也就不强制他学习加法。转为第一步,观察,观察并测试他什么时候具备了学习计算的思考能力。

第三步:课程,适当地引入系统性学习

在Shen接触到了一定的数学知识后,我就带他一起读数学启蒙的读物,开始尝试进行系统性的学习模式。数学启蒙读物的前几讲是关于数字、数量的内容,这对Shen来说已经很容易的事情,因此也就引起他对这套书的学习兴趣。到目前为止,他一知道我要带他学数学,就会非常兴奋。这也是出乎我自己的意料的。

不过,为了让他保持对数学的持续兴趣,我和他一起立了一个规定:一次课只能讲一节内容。这样的约定有两个考虑,一方面一个三岁的孩子能够真正理解的知识是非常有限的,一次给他讲太多知识,他吸收不了,反而就削弱了对数学的兴趣;另一方面,控制每次学习的量,也可以起到“饥饿营销”的效果,这样可以帮助孩子保持住对数学知识的渴望。

对于不擅长或者没有足够时间自己系统性教孩子数学的家长,在这里推荐的方法是借用“在线数学思维课程”。当然,在使用在线课程的同时,家长必要的陪伴和参与还是非常必须的,千万不要以为买一个在线课程,孩子的数学启蒙就全部搞定了。

当然,上面只是简单举了我自己关于“数数”的启蒙案例,后续我会分专题整理出相关的数学启蒙心得。欢迎持续关注!

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No.2 数学启蒙第一步:建立数感

数学是一门以理解为主的学科,更多依靠的是大脑发育成熟后的逻辑思维能力。但是,如果一定要给数学找一项适合在幼龄阶段学习的”童子功”的话,我觉得就非 “数感”莫属了。

01 数感是什么?

数感是什么?简单地说就是一个人对数字的感觉。一个孩子如果能够拥有良好的数感,那他看见数字时会是一种轻松自如的状态,遇到数学问题时会是一种从容镇定的状态。甚至还有一些数感超级好的孩子,他们看到数学难题时会产生一种天生的兴奋感,而且题目越难越兴奋。

相反的,如果一个孩子数感不好,那他看到数字时会不自觉地产生抗拒心理,遇到数学问题时会不自觉地先慌张起来,这种状态下的孩子数学是不太可能学好的,更谈不上会喜欢上数学了。这种情况,就好比一个人见到陌生人一样,有的人是自来熟,有的人是莫名慌张。

之所以说数感是数学的”童子功”,是因为数感不是一种可以通过直接教授的方式来获得的知识。数感是一种内在的感觉,是需要孩子在长年累月接触数字、感知数字、运用数字的过程中慢慢建立起来。

所以,数感启蒙会是一项长期任务,不要幻想花几天半个月就可以做完。(PS:现在网上有很多数学启蒙的课程广告,通过几节视频课就可以让孩子建立数感,学会数学思维,或者解决孩子不喜欢数学难题等噱头来吸引家长眼球,客观地讲我个人是无法认同的。不过,有些课程设计得确实非常活泼可爱,这对激发孩子对数学的兴趣倒是有不错的帮助。)

02 数感启蒙包括哪些内容

从学科角度,数感包括了很多维度,从简单的个位数字到复杂的大数据,从简单的概率关系到复杂的人工智能算法等,都有数感有关。不过,对于学龄前的孩子,数感启蒙当然不用涉及这么复杂的数学知识。

对于学龄前孩子的数感启蒙,我根据自己的观察和实践,大致可以分为四个方面:

  • 数与实物的关系
  • 数的顺序
  • 数的进制
  • 数的量级

03 如何帮助孩子建立数感?

接下来,我将从数感启蒙的四个方面逐个介绍。

数与实物的关系

数学的基础是数字,数字的本质是一种符号,这种符号是从具体实物中逐渐抽象出来的,这可是我们的祖先经过漫长的思维进化后才掌握的一项高级技能。

远古时期,我们那些生活在原始森林中的祖先们,很长一段时间里是不懂得“2只野兽”和“2块石头”之间是可以有联系的。慢慢地,他们才发现原来2只野兽和2块石头之间可以用同一个符号“2”来表示,这在人的大脑中是要经历一个很大的思维跃迁的。

“2只野兽”和“2块石头”是具体实物,而数字“2”是一个抽象符号,从具体实物上升到抽象符号,这是我们要帮助孩子掌握的第一个数学技能。

小孩的抽象思维能力和大脑发育程度息息相关。一般来说,2.5岁到3.5岁之间,孩子开始有能力来理解抽象符号,也就是说可以开始进行一些数感启蒙。不过,需要强调一下的是,不同孩子大脑发育的速度不同,思维能力相差3到5个月是很正常的事情,这对孩子以后智力成长的影响几乎为零,所以大家大可不必因此而焦虑。

数感启蒙的第一步是学习数数。随着大脑的发育,孩子学习数数一般要经历“唱数-点数-默数”三个过程。


大多数孩子在1岁半左右就可以数1,2,3……,这个时候很多家长会兴奋地认为宝宝已经学会数数了,甚至还有些家长会乐于在这个阶段“炫耀”自己的孩子已经可以数到20,数到30,甚至数到100。其实,这个阶段属于“唱数”阶段,唱数阶段孩子是不理解数与实物之间的关系的,数数对于宝宝来说就像是在唱一首好听的儿歌而已。

所以,这个阶段并不需要花太多精力去教孩子数数,这对后续的数学能力提升并没有多大的帮助。当然,如果孩子喜欢,多数一数也无妨。

经历了一段时间的唱数,孩子就会进入点数阶段。点数阶段是孩子进行数学启蒙的重要环节,因为这个阶段是孩子建立“数与实物关系”的关键时期。

点数阶段一般发生在2岁半到3岁半之间。这个阶段,最好的启蒙方法就是让孩子点数实物。最常见的就是点数手指,边点手指边数1,2,3,4,5。除了手指,还可以引导孩子点数家里的椅子,桌子,玩具,水果等等。根据我自己的观察,这个阶段孩子会很乐意陪你来数,因为每次点完他都可以感受到满满的成就感。

通过不断的重复练习,孩子一般在2~3个月内就可以熟练进行10以内的点数。这个时候,家长可以开始引导孩子学习默数。学习默数的过程是一个让数字与实物剥离的过程,这个时候孩子需要在头脑里建立抽象数字的概念。这属于思维层面的提升,对孩子来说是有一定难度的,需要一定的时间来进行练习。孩子学习默数大概会持续6~12个月,家长在引导孩子学习默数的时候要留有足够的耐心,不要太着急。

学习默数的方法是逐步引导孩子不动手指来数数。刚开始孩子是很难离开手指来数数的,遇到要数数就会不自觉地拿出手指。这个时候,我们可以通过玩游戏的方式来带领他学习默数。比如和孩子约定好,大家都不动手不出声,然后看谁数得快、数得准。类似这样游戏,大家可以任意发挥。

如果孩子能够熟练掌握默数的能力,就说明孩子已经完全理解了抽象数字的概念,也能够理解了数与实物之间的关联关系。这个时候,数感启蒙的第一步——数数就可以大功告成了!

数的顺序

会数数并不等于能够理解数的顺序,这是我从Shen身上观察出来的。

Shen3岁左右的时候,有一次我问他6的数字后面是什么?他答不上来。这让我有点吃惊,因为这个时候他已经很熟练地掌握了点数的技能,也基本掌握了10以内的默数,所以我原本默认了他已经懂得10以内的顺序关系。

后来我才知道,对于孩子来说,数的顺序关系也是需要一个练习过程的。这就好比我们刚开始学习英文数字一样,一直数下去我们可以数得很溜,但如果要单独说出某个数字就会比较吃力,如果还要按前后顺序来说,就更难了。

所以,数感启蒙的第二步,是帮助孩子理解数的顺序。理解数的顺序方法也比较简单,只要多创造一些需要用到数的顺序的场景就可以了。比如吃水果的时候,可以每个人分一个号码,然后按顺序拿水果;也可以把数字贴在墙上,让孩子按一定的顺序数数,正数,反数,跳着数等;还可以多进行抽像数字的顺序对答练习,比如练习抢答“4的后面是什么,8的前面是什么”这样的游戏。


数的进制

“妈妈,为什么我们数到9之后就要变成10(1和0)?”

如果孩子问你这样的问题,你会怎么回答?我问过Sui,她说大概会回答说,我也不知道哦,让我去查查有没有答案再来告诉你。

数的进制确实是很少有人会关注的知识点,至少在我查阅过的数学启蒙书籍中还没有专门讲过这个知识点的。但我觉得,想要帮助孩子建立好的数感,数的进制应该要纳入启蒙范畴。

回到那个问题,为什么我们数到9之后就要变成1和0?一般的说法是,因为我们人只有10只手指,当我们数到10以上的数字时就不够用了,所以古人就发明了进制的方法。每次数到第10位就做个记号(往前进一位),然后继续从0开始数下去。

十进制是我们生活中最熟悉的进制方法。除了十进制,其实我们还有很多的进制方法。比如时钟就是12进制,月份是十二进制,我们古代的天干地支也是十二进制。

在计算机中,我们使用的是二进制,每数到2就进一位,如下图所示。我曾尝试给我五年级的侄女讲二进制,她可以很轻松就听懂,并能够完成十进制和二进制的转换练习。所以数的进制并不是一个很难的知识点,我看到很多小学生的奥数题其实就是用进制关系去改编的。


学习和掌握”数的进制”对孩子建立良好数感是有很大帮助,这可以让孩子感觉到自己和其他人相比,跟数字走得更近,关系更亲密。

学龄前的小孩当然不用学习二进制,但需要让他们理解十进制的概念,再通过一定量的练习让孩子熟练掌握十进制的方法。比如:很多孩子通过背诵数字知道59之后是60,并不是真正掌握十进制的方法,我们需要让孩子明白之所以59之后是60,是因为9之后就要往前进一位,所以变成6和0。如果孩子理解了,那就可以很轻松地一直无限地数下去了。

数的量级

我曾在网上看到过一个帖子,一个小学老师让学生自编应用题,结果出现一些让人哭笑不得的笑话,比如“门高2厘米”、“妈妈的体重100克”、“小明每秒钟走路1000米”、“小红的爸爸今年12岁”……

在这些哭笑不得的笑话背后,其实折射出的是我们现行数学教育背后一个大问题——数学与生活完全脱轨。其实不止小学生,即便是大学生,在数的量级上也常常会犯低级错误。

数的量级是一个很实用的概念,在工程领域,大部分情况下是不需要进行精确计算的,而是通过量级估算来进行宏观判断。一位高水平的工程师可通过量级估算轻松找出很多工程设计上的低级错误。

对于学龄前儿童来说,学习数的量级最简单的办法就是用实物来对比。通过不同数量的实物来对比,可以直接给孩子留下不同量级的感官印象。

比如,我们可以用一个瓜子代表1,一个小金桔代表10,一个苹果代表100,一个西瓜代表1000,通过这样的对比来让孩子建立1和100,1和1000的量级差别。

再比如,我们可以告诉孩子从家门口走路到电梯口是10米,从家里走路到幼儿园是100米,从家里走路到XX餐厅是1000米。通过类似的对比来帮助孩子建立距离量级的概念。

类似这种对比,我们还可以用在时间、空间、重量等概念上。随着孩子年龄的增长,量级的概念可以不断提升,比如帮助孩子理解人口的量级,理解国土面积的量级,理解宇宙空间的量级,理解光速、光年的概念等。

好了,关于数感的话题就写到这里。感谢您的耐心阅读!

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No.3 数学启蒙第二步:构建空间感

数和形,是数学的两大核心内容,它们就如同数学的两条腿,相辅相成,缺一不可。数感和空间感的培养,自然也是数学启蒙中最重要的两个任务。

1 什么是”空间感”?

在进入这个主题之前,我想先和大家分享一下自己大学期间经历的与空间感有关的故事。那是我第一次感受到,一个人的空间感是实实在在存在的,而且人与人之间的空间能力是真的有实质性差距的。高中时期我的数学成绩还算不错,考试基本都在140分以上,偶尔也可以接近满分。高中数学中几何占了很大一部分的,所以我自认为几何能力也算是不错的。

到了大一,我学的是工科,需要上一门课叫《机械制图》。在这门课中,我们需要学习投影法,还要学习用投影法画出零部件的三视图和六视图(如下图所示)。



图注:《机械制图》的三视图和六视

刚开始接触到这些视图的时候,我感觉到非常吃力。当时觉得,那些工厂的师傅光看这些图就能把零部件加工出来,真的是难以想象。对于我来说,想要把这些视图准确无误地画下来,几乎是不可能的事情。所以,每次作业我都要花很多的时间。但是,我们班里就有一些空间感很强的同学,他们看一下实物,然后就可以像拍照一样把这些视图非常快地画出来,而且基本不会出错。当时,我是真真切切地感受到了什么叫做空间感的差距。好了,这就是我跟大家分享的故事,这个事情让我形象地感受到了空间感的存在,而且空间感是可以通过培养来提升的。

那么,空间感究竟是什么呢?其实,空间感的范畴是非常广的,从幼儿园的图形认知到大学里的机械制图,甚至到最前沿的物理学、天文学、宇宙学的研究内容,都属于空间感的范畴。按照定义来说,空间感就是人对物体结构形状、空间位置、远近层次和距离的感觉。它的底层逻辑,实际上就是一个人的想象力和推演力。

2 为什么需要培养“空间感”?

那么,我们为什么需要这么早就重视孩子空间感的建立呢?这是因为,有了良好的空间感的人,确实能带来很多的好处。

首先,空间感强的人绘画/制图能力都会比较强。无论是艺术类的绘画,还是机械类的制图,或者是建筑类的素描图,拥有良好的空间感是最基本的要求,这个应该不用做过多的解释。其次,空间感强的人方向感一般都会比较强。对空间感强的人,他们可以很轻松就在头脑中构建一个虚拟的空间,简单的就是按东西南北或者前后左右构建。在这个虚拟的空间里,只要有人跟他说往北走,他可以完全不用看地图,通过头脑里虚拟的空间就可以找到想要的方向。现在很多网络游戏,对空间感的要求也是很高的,想要玩得好,也是要提升空间感的。最后,空间感强的人还有一个很重要的能力,那就是推演能力。空间感的本质是在头脑里构建出立体图像的能力,这种能力也可以用来在头脑里推演某个事情的动态发展,或某个现象的动态演变。爱因斯坦就是一个空间感超强的人,他的相对论很大部分是靠头脑里的“思想实验”推演出来的。我们古代有“运筹帷幄”的说法,指的也是这种推演能力。


图注:爱因斯坦广义相对论的思想实验

“空间感”能力并不是一种与生俱来的能力,而是一种需要在实际生活中基于很多体验、很多训练后逐渐形成的能力。在这些训练中,幼儿的“图形认知启蒙”便是一项最最基本的训练。在这里,可能有些朋友会发出疑问,幼儿园的小孩是否有能力进行“图形认知”的学习呢?答案是可以的。

在教育部发布的《3~6岁儿童学习与发展指南》中,就有明确规定了感知图形的内容。而且,3~6岁的儿童,抽象思维正在逐步建立的过程中,这个时候他们已经有了基本的思维能力去进行“图形认知”的学习了。事实上,图形认知已经成为很多学校幼升小的基本要求了。在小学数学课本里,图形认识也是一项重要的学习内容。

我在网上看过一个报道,北京某小学的数学考试,有这么一道题。大家可以尝试做一下。


图注:网传某北京小学入学考试题

3 构建“空间感”需要从何入手?

我们在前面有提到,“图形认知”是孩子构建空间感最基本的训练。所以,培养孩子的空间感,我们可以从图形认知开始入手。那么,图形认知究竟是指哪些内容呢?关于这个问题,我们教育部按发布的《3~6岁儿童学习与发展指南》中是有明确规定的。


图注:教育部指导文件中的描述

不过,我自己感觉这个要求是偏低的,大部分4岁左右就可以达到5~6岁的水平。于是,我自己也总结了一些“图形认知”的几个内容,和大家一起分享。

我自己在实践过程中,把图形认知总结为4个方面的内容:

  • 图形识别
  • 图形组合与分解
  • 图形旋转与移动
  • 图形延伸

· 图形识别,顾名思义就是认识图形,包括三角形、圆形、正方形等。随着孩子年龄的增长,我们可以让孩子进一步接触一些复杂图形,比如六边形、八边形、三棱柱、六棱柱、三棱锥等。· 图形组合与分解,简单地说就是用几个图形拼成另外一个图形,或者把一个图形拆成几个图形。· 图形旋转与移动,就是把图形旋转起来,变成其他图形,比如长方形沿着一条边旋转起来就变成圆柱体,一个三角形旋转起来变成圆锥体之类的。移动也是一种变化,比如一个正方形移动起来可以变成正方体或长方体。· 图形延伸,就是看到一个不完整的图形或残缺的图形,可以想象出完整图形的样子。或对着一个图形,想象出它外延的样子。最典型的例子就是拼图。

4 如何在家庭中帮助孩子构建“空间感”?

熟悉我的文章的朋友应该知道,我是极力推崇“数学源于生活”的理念。那么,如何才能把上述“图形认知”的四个方面融入到我们的日常生活中呢?下面我来逐一给大家分享。首先,我们需要引导孩子观察生活中物品的图形。比如车轮是圆形的、餐桌是长方形、奶粉罐是圆柱体之类的。

引导孩子观察生活中物品的形状,有一个好处就是让孩子先从不规则图形入手来认识图形。大家可能没有留意到,我们课本里的图形都是理想图形,比如正方形,长方形,三角形,这些图形是通过理想化处理的。在我们实际生活中的图形,大部分并不是这样标准的,比如一张桌子,整体上看是长方形,但每个角都是有处理的,倒圆的。从不规则图形认识到规则图形,是一个抽象思维建立的过程,也是孩子在头脑里建立图形特征的最好方式。除了用生活物品引导孩子去发现图形、总结图形,我们可以利用一些辅助工具(也可以称为教具),来帮助孩子进一步建立图形的概念。在这里,我从图形认知的4个方面,给大家介绍几个我自己在家里使用的教具,供大家参考。

图形识别

推荐教具:积木‍‍‍

积木可以帮助孩子实体感受形状的存在,还可以帮助孩子认识平面图形与立体图形之间的关系。适合年龄:

3~5岁,难度可以不断加大


图注:shen玩积木,@1岁7个月

图形的组合和分解

推荐教具:七巧板

七巧板的原理就是图形的组合和分解,让孩子多练习七巧板,可以帮助他们构建出良好的空间感。适合年龄:

4~6岁,难度可以不断加大

平面图形的延伸与变换

推荐教具:拼图

拼图的过程中,孩子需要根据已有的图案去想象缺失的图案,这个过程就是在锻炼孩子图像延伸的能力。

适合年龄:3~6岁

立体图形的延伸与变换

推荐玩具:拼图索玛方块

索玛方块可以看是一种立体的拼图,孩子在玩的过程中,可以锻炼到空间立体的想象能力。

适合年龄:5岁以上



图注:索玛方块

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